Question

如果點P在平面區域內，點Q在曲線x²+y²-4x-4y+7=0上，則|PQ|的最小值為（ ）
A．2
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先將曲線x²+y²-4x-4y+7=0化成圓的標準方程，得到Q在以點C（2，2）為圓心，半徑為1的圓上運動．然后作出題中不等式組對應的平面區域，作出點C到區域邊界的直線AD：x+y-2=0的垂線，可得當點P與垂足重合，且動點Q恰好落在垂線與圓C的交點時，|PQ|達到最小值．最后用點到直線的距離公式，可以算出點C到直線AD的距離，從而得到|PQ|的最小值為．
解答：解：曲線x²+y²-4x-4y+7=0化成（x-2）²+（y-2）²=1
得圓的標準方程，曲線表示的是以C（2，2）為圓心，半徑為1的圓．
因此|PQ|的最小值，化為先求點C到平面區域內點的最小值，再用這個最小值減去半徑1即可．
作出平面區域，如右圖△BAD及其內部
過點C作出直線AD：x+y-2=0的垂線，
當點P與垂足重合，且動點Q恰好落在垂線與圓C的交點時，
|PQ|達到最小值．
∵點C（2，2）到直線AD：x+y-2=0的距離為d=
∴|PQ|的最小值為
故選D
點評：本題以圓上的動點到三角形區域內點的最小距離問題為載體，著重考查了簡單線性規劃的應用、圓的標準方程和點到直線距離公式等知識點，屬于中檔題．