Question

設角A，B，C為△ABC三個內角，已知cos（B+C）+sin²

A

2

=

5

4

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=-1，求BC邊上的高AD長的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用誘導公式、倍角公式化簡為關于A的余弦的等式解之；
（2）若

AB

•

AC

=-1，則AB×AC×cosA=-1，得到bc=2，再結合余弦定理求出a的最小值，因為面積確定，從而得到其高的最大值．

解答： 解：（1）cos（B+C）+sin²

A

2

=-cosA+

1

2

（1-cosA）=

5

4

，所以cosA=-

1

2

，所以A=120°．
（2）若

AB

•

AC

=-1，則AB×AC×cosA=-1，所以bc=2，所以三角形ABC的面積為

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，又由余弦定理的a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2+bc

≥

3bc

=

6

，所以BC邊上的高AD長的最大值為

3 2

6

=

2

4

．

點評：本題考查了考查三角函數的化簡，三角形的面積公式以及余弦定理 的運用、基本不等式的應用，考查計算能力，是常考題型．