Question

14．已知圓C：x²+y²-4x-4y+4=0，點E（3，4）．
（1）過點E的直線l與圓交與A，B兩點，若AB=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點記為M，O為坐標原點，且滿足PM=PO，求使得PM取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化為標準方程，求出圓心C，半徑r．分類討論，利用C到l的距離為1，即可求直線l的方程；
（2）設P（x，y）．由切線的性質可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得y+x-1=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線y+x-1=0的距離．

解答 解：圓C方程可化為（x-2）²+（y-2）²=4
（1）當直線l與x軸垂直時，滿足$AB=2\sqrt{3}$，所以此時l：x=3…（2分）
當直線l與x軸不垂直時，設直線l方程為y-4=k（x-3），
即y=kx-3k+4…（3分）
因為$AB=2\sqrt{3}$，所以圓心到直線的距離$d=\sqrt{4-3}=1$…（4分）
由點到直線的距離公式得$\frac{|-k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解得$k=\frac{3}{4}$
所以直線l的方程為$y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$…（6分）
所以所求直線l的方程為x=3或 $y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$…（7分）
（2）因為PM=PO，$PM=\sqrt{{{（{x_1}-2）}^2}+{{（{y_1}-2）}^2}-4}$，$PO={\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}_{\;}}^{\;}$
化簡得y₁+x₁-1=0…（10分）
即點P（x₁，y₁）在直線y+x-1=0上，…（12分）
當PM最小時，即PO取得最小，此時OP垂直直線y+x-1=0
所以OP的方程為y-x=0…（14分）
所以$\left\{{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{y+x-1=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
所以點P的坐標為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$…（16分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查了圓的切線的性質、勾股定理、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．