Question

9．已知直線y=x+b與圓x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B兩點，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則實數b的值為1或-4．

Answer 1

分析 將直線方程代入圓的方程，利用韋達定理，及以AB為直徑的圓過原點，可得關于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗證．

解答 解：由直線y=x+b與圓x²+y²-2x+4y-4=0，消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①
設直線l和圓C的交點為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個根．
∴x₁x₂=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$，x₁+x₂=-b-1．             ②
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0③
將②代入③得：b²+3b-4=0．                  
解得：b=1或b=-4，
b=1時，方程為2x²+4x+1=0，判別式△=16-8＞0，滿足題意
b=-4時，方程為2x²-6x-4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意
所以滿足條件的b為：b=1或b=-4．
故答案為1或-4．

點評 本題綜合考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于基本知識的考查與應用．