Question

【題目】已知正方體的棱長為，其內有2個不同的小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，則球的體積等于______，球的表面積等于______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可知三棱錐是邊長為的正四面體,則球是三棱錐的內切球,設其半徑為,由，可知,設平面平面,且球和球均與平面相切于點,則球是正四面體的內切球,設其半徑為,則,最后代入數據計算即可.

因為正方體的棱長為,

所以三棱錐是邊長為的正四面體,的高為,

設底面的中心為,連接,則,,

則球是三棱錐的內切球,設其半徑為,

則有

所以,

所以球的體積為,

又球與三棱錐的三個面和球都相切,

則設平面平面,且球和球均與平面相切于點,如下圖所示,

則球是三棱錐的內切球,設其半徑為,

故,

因此在正四面體中,,

所以球的表面積為,

故答案為:;.