Question

設f（x）=

1+2x+3x•a

3

（其中a為實數），如果當x∈（-∞，1）時恒有f（x）＞0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由于分母為3，故f（x）＞0只需1+2^x+3^x•a＞0，分離參數可得a＞-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]，故利用右邊函數為單調減函數，可求求最大值，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：函數f（x）有意義，須且只需1+2^x+3^x•a＞0，
即a＞-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]…（*），
設g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]，x∈（-∞，1），
因為y₁=-(

1

3

)x，y₂=-(

2

3

)x在（-∞，1）上都是增函數，所以g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]在（-∞，1）上是增函數，故[g（x）]_max=g（1）=-1．
所以，欲使（*）對x∈（-∞，1）恒成立，必須a＞g（1）=-1，
即實數a的取值范圍是（-1，+∞）．

點評：本題以函數為載體，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，借助于研究函數的最值，從而求出參數的范圍．