Question

已知a，b，c∈R，f(x)＝ax²＋bx＋c．

(Ⅰ)若a≠0，且f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0對應方程兩實根平方和為10，圖象過點(0，3)，求函數f(x)的解析式．

(Ⅱ)若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上最大值為2，最小值為，證明：a≠0且．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(Ⅰ)∵，∴函數的對稱軸為，　　① 　　∵函數圖象過點，所以，　　　② 　　設方程的兩根為，對應方程兩實根平方和為10得＝　　　　③ 　　有①②③得：，∴函數的解析式為－6分; 　　(Ⅱ)由得，，假設或． 　　①由，得，依題設可知，因而函數為單調函數，在上，的最大值為，最小值為，于是，由此得到得到矛盾，故． 　　②由得，于是，區間位于拋物線的對稱軸的左側或右側．故函數在上單調，其最大值為，最小值為，由①知，這是不可能的，綜合①②可知，原假設不成立，故且．　　　　8分