Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為 (為參數)以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的普通方程和極坐標方程；

（2）直線的極坐標方程為，若與的公共點為，且是曲線的中心，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）.

【解析】試題分析：曲線的參數方程利用平方法消去參數，得其普通方程，將， 代入普通方程并化簡，可得其極坐標方程；（2）將代入極坐標方程可得，根據極徑的幾何意義利用韋達定理可得，再根據點到直線距離公式及三角形面積公式可得結果.

試題解析：（1）由曲線的參數方程消去參數，得其普通方程為.

將， 代入上式并化簡，得其極坐標方程為.

（2）將代入得.

得.

設， ，則， ，

所以.

又由（1），知，且由（2）知直線的直角坐標方程為，所以到的距離是，所以的面積.

【名師點晴】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程，利用關系式， 等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，本題這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．