Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P（ ， ）在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設不過原點O且斜率為 的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，
證明：︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，

由題意可得 ，解得a2=4，b2=1，

∴橢圓E的方程為

（2）

證明：

設AB所在直線方程為 ，

聯立 ，得x2+2mx+2m2﹣2=0．

∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ．

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

則 ， ，

|AB|= ．

∴x0=﹣m， ，即M（ ），

則OM所在直線方程為 ，

聯立 ，得 或 ．

∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）．

則︳MC︳︳MD︳=

= = ．

而︳MA︳︳MB︳= （10﹣5m2）= ．

span>∴︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳．

【解析】（Ⅰ）由題意可得a=2b，再把已知點的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件求得a，b得答案；
（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長及AB中點坐標，得到OM所在直線方程，再與橢圓方程聯立，求出C，D的坐標，把︳MA︳︳MB︳化為 ，再由兩點間的距離公式求得︳MC︳︳MD︳的值得答案；
本題考查橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，訓練了弦長公式的應用，考查數學轉化思想方法，訓練了計算能力，是中檔題．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．