Question

【題目】已知函數f（x）=log4（22x+1）+mx的圖象經過點 .

（Ⅰ）求m值并判斷的奇偶性；

（Ⅱ）設g（x）=log4（2x+x+a）f（x），若關于x的方程f（x）=g（x）在x∈[-2，2]上有且只有一個解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=-；偶函數（II）-≤a≤6

【解析】

（Ⅰ）把點P的坐標代入函數f（x），求得m的值；寫出f（x）的解析式，判斷f（x）的奇偶性；

（II）根據題意，把方程化為對數方程，求出a的解析式，計算滿足條件時a的取值范圍．

解：（Ⅰ）函數f（x）=log4（22x+1）+mx的圖象經過點p（，-+log23），

則-+log23=log4（23+1）+m，m=-；

所以f（x）=log4（22x+1）-x，且定義域為R，

∴f（-x）=log4（2-2x+1）+x=log4+x=log4（4x+1）-x=f（x），

則f（x）是偶函數；

（II）根據f（x）=g（x），得log4（4x+1）-x=log4（4x+1）-log42x=log4，

則方程化為log4（2x+x+a）=log4，

得2x+x+a=＞0，

化為a=-x，且在x∈[-2，2]上單調遞減，

所以使方程有唯一解時a的范圍是-≤a≤6．