Question

8．已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），若y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“一階比增函數”；若y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“二階比增函數”．我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數”組成的集合記為Ω₂．已知函數f（x）=x³-2mx²-mx，若f（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，實數m的取值范圍（-∞，0）．

Answer 1

分析 因為f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，即g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x²-2mx-m在（0，+∞）是增函數，所以h≤0．而h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=x-2m-$\frac{m}{x}$在（0，+∞）不是增函數，而h′（x）=1+$\frac{m}{{x}^{2}}$，所以當h（x）是增函數時，有h≥0，所以當h（x）不是增函數時，有h＜0．綜上所述，可得h的取值范圍是（-∞，0）．

解答 解：∵f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，
即g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x²-2mx-m在（0，+∞）是增函數，
∴m≤0．
而h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=x-2m-$\frac{m}{x}$在（0，+∞）不是增函數，
而h′（x）=1+$\frac{m}{{x}^{2}}$，
∴當h（x）是增函數時，有m≥0，
∴當h（x）不是增函數時，有m＜0．
綜上所述，可得m的取值范圍是（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考察了函數的單調性，導數的應用，是一道中檔題．