精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

以橢圓 $數(shù)學公式$ （a＞b＞0）的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點O，且與該橢圓的右準線交與A，B兩點，已知△OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是 ________．

$\text{[math]}$
分析：先求出橢圓的右焦點坐標、右準線方程，以及圓的半徑，依據(jù)題意求出A，B兩點的橫坐標為 $\text{[math]}$ ，
在正三角形OAB中，連接FA、FB，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．
解答：橢圓的右焦點F（c，0），右準線為 x= $\text{[math]}$ ，圓的半徑為 c，A，B兩點的橫坐標為 $\text{[math]}$ ，
∵△OAB是正三角形，由FA=FB，及∠AFB=120°，構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系得
cos60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查橢圓的標準方程和簡單性質(zhì)，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源：天津高考真題 題型：證明題

如圖，以橢圓

（a＞b＞0）的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A。連結(jié)OA交小圓于點B，設(shè)直線BF是小圓的切線，
（1）證明c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明