Question

如圖，以橢圓（a＞b＞0）的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A。連結OA交小圓于點B，設直線BF是小圓的切線，
（1）證明c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明。

Answer 1

（1）證明：由題設條件知，，故，
即，因此； ①
解：在中，，
于是，直線OA的斜率，
設直線BF的斜率為k，則，
這時，直線BF的方程為，
令x=0，則，
所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）；
（2）證明：由（1），得直線BF的方程為y=kx+a，且，②
由已知，設，
則它們的坐標滿足方程組， ③
由方程組③消去y，并整理得，④
由式①、②和④，，
由方程組③消去x，并整理得，⑤
由式②和⑤，；
綜上，得到，
注意到，
得
。