Question

14．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ-1，數列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在常數λ，使得不等式（-1）ⁿλ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推關系即可得出{a_n}的通項公式，根據b_n+1-2b_n=8a_n，可得$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2，從而可得{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為$\frac{{b}_{1}}{{2}^{1}}$=1，公差為2的等差數列，由此可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）存在常數λ使得不等式（-1）ⁿλ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$（n∈N^*）恒成立．利用錯位相減法求數列的和，再分類討論，利用分離參數法，即可得到結論．

解答 （本題滿分為13分）
解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2-1=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=2^n-1．
∵b_n+1-2b_n=8a_n，所以 b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，即$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2．
∴{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為$\frac{{b}_{1}}{{2}^{1}}$=1，公差為2的等差數列．
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=（2n-1）•2ⁿ
（Ⅱ）存在常數λ使得不等式（-1）ⁿλ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$（n∈N^*）恒成立．
因為T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化簡得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．
因為$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$=$\frac{（2n-3）•{2}^{n+1}}{（2n-1）•{2}^{n+2}}$=$\frac{2n-3}{4n-2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{4n-2}$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2n-1}$，
（1）當n為奇數時，（-1）λ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$，所以λ＞-1-$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$，即λ＞-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2n-1}$．
所以當n=1時，-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2n-1}$的最大值為-$\frac{1}{2}$，所以只需λ＞-$\frac{1}{2}$；
（2）當n為偶數時，λ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$，所以λ＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n-1}$，
所以當n=2時，$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n-1}$的最小值為$\frac{7}{6}$，所以只需λ＜$\frac{7}{6}$；
由（1）（2）可知存在-$\frac{1}{2}$＜λ＜$\frac{7}{6}$，使得不等式（-1）nλ＜1+$\frac{{T}_{n}-6}{{T}_{n+1}-6}$（n∈N^*）恒成立．…（13分）

點評 本題考查了遞推關系的意義、等差數列的通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，考查存在性問題的探究，考查分離參數法的運用，屬于中檔題．