Question

8．（1）將二次函數h（x）=x²的圖象先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到函數f（x）的圖象，寫出函數f（x）的解析式，并求出x∈[0，4]時函數f（x）的值域．
（2）求f（x）=x²-2ax-1在區間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象的平移變換可得f（x）的解析式．利用單調性可求值域．
（2）根據二次函數的單調性討論其最小值即可．

解答 解：（1）二次函數h（x）=x²的圖象先向右平移1個單位，
可得：y=（x+1）²，
再向下平移2個單位得到，y=（x-1）²-2．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=（x-1）²-2．
對稱軸x=1，開口向上，
∵x∈[0，4]，
當x=1時，f（x）取得最小值為-2．
當x=4時，f（x）取得最大值為7．
∴函數f（x）的值域[-2，7]
（2）函數f（x）=x²-2ax-1，
對稱軸x=a，開口向上，
∵x在區間[0，2]上，
當a≤0時，則x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-1；
當0＜a＜2時，則x=a時，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-a²-1；
當a≥2時，則x=2時，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-4a+3；
故得f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-1，a≤0}\\{-{a}^{2}-1，0＜a＜2}\\{-4a+3，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數的平移和最小值的討論問題．屬于基礎題．