Question

在中，已知，又的面積等于6.
（Ⅰ）求的三邊之長；
（Ⅱ）設是（含邊界）內一點，到三邊的距離分別為，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）三邊長分別為3，4，5.（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）對條件，由正弦定理和余弦定理可以轉化為只含邊的等式，這個等式
化簡后為，由此得 ，所以.再根據三角形的面積等于6可得BC＝4，由勾股定理可得AB＝5.
（Ⅱ）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，設P點坐標為（x, y），則由點到直線的距離公式可將用點P的坐標表示出來，然后用線性規劃可求出其取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）法一、設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以為Rt，且           3分
所以 
又，由勾股定理可得AB＝5       6分
法二、設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以為Rt，且           3分
又
（1）÷（2），得          4分
令a="4k," b="3k" (k>0)
則∴三邊長分別為3，4，5     6分
（Ⅱ）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為
設P點坐標為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁, d₂和d₃可知
，          8分
且故       10分
令，由線性規劃知識可知0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是  12分
考點：1、解三角形；2、點到直線的距離；3、線性規劃