Question

1．數列{a_n}滿足a_n+1=（-1）ⁿ•a_n+n，則{a_n}的前100項的和S₁₀₀（　　）

• A． 等于2400
• B． 等于2500
• C． 等于4900
• D． 與首項a₁有關

Answer 1

分析 ${a_{4n-2}}={（{-1}）^{4n-1}}•{a_{4n-1}}+（{4n-1}）=-{a_{4n-1}}+4n-1$；
${a_{4n-3}}={（{-1}）^{4n-2}}•{a_{4n-2}}+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+（{4n-1}）+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+8n-3$；
${a_{4n-4}}={（{-1}）^{4n-3}}•{a_{4n-3}}+（{4n-3}）=-[{-{a_{4n-1}}+8n-3}]+（{4n-3}）={a_{4n-1}}-4n$；
所以a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=a_4n-1+（-a_4n-1+4n-1）+（-a_4n-1+8n-3）+（a_4n-1-4n）=8n-4．
發現{a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n}是一個首項為4，公差為8的等差數列．

解答 解：，${a_{4n-2}}={（{-1}）^{4n-1}}•{a_{4n-1}}+（{4n-1}）=-{a_{4n-1}}+4n-1$；
${a_{4n-3}}={（{-1}）^{4n-2}}•{a_{4n-2}}+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+（{4n-1}）+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+8n-3$；
${a_{4n-4}}={（{-1}）^{4n-3}}•{a_{4n-3}}+（{4n-3}）=-[{-{a_{4n-1}}+8n-3}]+（{4n-3}）={a_{4n-1}}-4n$；
所以a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=a_4n-1+（-a_4n-1+4n-1）+（-a_4n-1+8n-3）+（a_4n-1-4n）=8n-4．
發現{a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n}是一個首項為4，公差為8的等差數列，
于是${S_{100}}=25×4+\frac{{25×（{25-1}）}}{2}×8=2500$．
故選：B．

點評 本題考查了利用數列的遞推式求數列的和，考查了分析問題的能力，歸納推理的能力，屬于中檔題．