Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為A，若直線AF與圓O：x²+y²=$\frac{{3{a^2}}}{16}$相離，則該橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 求得AF的方程，利用點到直線的距離公式，及橢圓的離心率公式即可求得該橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：直線AF的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}=1$，即bx+cy-bc=0，
圓心O到直線AF的距離$d=\frac{{|{-bc}|}}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{bc}{a}＞\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，
兩邊平方整理的，16（a²-c²）c²＞3a⁴，于是16（1-e²）e²＞3，解得$\frac{1}{4}＜{e^2}＜\frac{3}{4}$．
解得：$\frac{1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．