Question

請仔細閱讀以下材料：

已知是定義在上的單調遞增函數．

求證：命題“設，若，則”是真命題．

證明：因為，由得．

又因為是定義在上的單調遞增函數，

于是有． ①

同理有． ②

由① + ②得．

故，命題“設，若，則”是真命題．

請針對以上閱讀材料中的，解答以下問題：

（1）試用命題的等價性證明：“設，若，則：”是真命題；

（2）解關于的不等式（其中）．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①當時，即時，不等式的解集為：

②當時，即時，不等式的解集為：

【解析】

試題分析：（1）在判斷四種命題的關系時，首先要分清命題的條件和結論，當確定了原命題時，要能根據四種命題的關系寫出其他三種命題；（2）當一個命題有大前提時，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變；（3）判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出反例；（4）根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假.

試題解析： 【解析】
（1）原命題與原命題的逆否命題是等價命題.

原命題的逆否命題：設，若，則： 4分

下面證明原命題的逆否命題為真命題：

因為，由得：， 1分

又是定義在上的單調遞增函數

所以 （1） 1分

同理有： （2） 1分

由（1）+（2）得： 1分

所以原命題的逆否命題為真命題

所以原命題為真命題. 1分

（2）由（1）的結論有：，即： 3分

①當時，即時，不等式的解集為： 3分

②當時，即時，不等式的解集為： 3分

考點：1、命題及其相互關系；2、指數函數和對數函數的性質.