Question

在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，O為坐標原點，A為右頂點，F為右焦點，過F作MN∥y軸，交橢圓于M，N兩點，若|MN|=3，橢圓的離心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求橢圓的方程；
（2）若此橢圓的長軸不變，當以OA為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓上時，求橢圓短半軸長b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，易得，從而可求幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設出橢圓方程及P的坐標，利用以OA為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓，建立方程，即可求得結論．
解答：解：（1）由已知得，，∴a=2，c=1，b=
故橢圓C的方程為
（2）設橢圓方程為（b＞0），則令P（2cosα，bsinα）（0＜cosα＜1）
∵以OA為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓
∴=-1
∴令t=cosα（0＜t＜1），則=1-
∵0＜t＜1，∴
∵b＞0，∴0＜b＜
點評：本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，有一定的綜合性．