Question

已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為

4 5

3

和

2 5

3

，過點P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，則該橢圓的方程為

x2

5

+

y2

10 3

=1或

y2

5

+

x2

10 3

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，由P到兩焦點的距離得到2a=

4 5

3

+

2 5

3

=2

5

，得a=5．根據(jù)過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，利用勾股定理列式解出c的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程．

解答：解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知條件得

2a= 4 5 3 + 2 5 3 (2c)2=( 4 5 3 )2-( 2 5 3 )2

，
解之得a=

5

，c=

15

3

，b²=

10

3

，可得橢圓方程為

x2

5

+

y2

10 3

=1，
同理可得：當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為

y2

5

+

x2

10 3

=1．
故答案為：

x2

5

+

y2

10 3

=1或

y2

5

+

x2

10 3

=1．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．