Question

以長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的六條面對角線為棱，可以構成四面體A-B₁CD₁，A₁-BC₁D，若這兩個四面體組合起來的體積為1（重合部分只算一次），則長方體的體積（　　）

• A．2
• B．

  7

  3

• C．3
• D．4

Answer 1

分析：先畫出圖形，設長方體的體積為V，然后求出除兩個四面體組合以外的體積，從而求出兩個四面體組合的體積，建立等式解之即可求出所求．

解答：解：先畫出圖形，設長方體的體積為V
觀察底面上除兩個四面體組合以外有4個三棱錐，
V三棱錐I-ABE=

1

3

×

1

4

×

1

2

V=

V

24

V三棱錐F-BCE=

1

3

×

1

4

×

1

2

V=

V

24

V三棱錐J-CDE=

1

3

×

1

4

×

1

2

V=

V

24

V三棱錐H-ADE=

1

3

×

1

4

×

1

2

V=

V

24

同理每個面上有4個，一共有6個面，而三棱錐I-ABE與三棱錐E-ABI是同一個三棱錐，共有12個三棱錐
則除兩個四面體組合以外的體積為

V

24

×12=

V

2

∴兩個四面體組合的體積為V-

V

2

=1
則V=2
故選A．

點評：本題主要考查了棱錐的體積，以及組合體的體積，解決此類問題常常用割補法，屬于中檔題．