Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB是等邊三角形．
1、求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
2、求二面角B—AC—P的余弦值；
求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

(1) 取AB中點(diǎn)E，則PE⊥AB
∵ 平面PAB⊥平面ABCD
∴ PE⊥平面ABCD
取CD中點(diǎn)F，連結(jié)EF
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E—xyz，則P（0，0，），C（1， 2，0）

平面ABCD的一個(gè)法向量

∴ PC與平面ABCD所成角的正弦值為
(2) A（– 1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，）

∴
平面APC的一個(gè)法向量
平面ABC的一個(gè)法向量

∴ 二面角B—AC—P的余弦值為
(3) P（0，0，），C（1，2，0），D（– 1，2，0）

∴ 平面PCD的一個(gè)法向量

∴ 點(diǎn)A到平面PCD的距離為

略