Question

10．橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左右頂點分別為A₁、A₂，上下頂點分別為B₁、B₂，F₂為右焦點，延長B₂F₂與A₂B₁交于點P，若∠B₂PA₂為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}，0}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，再由∠B₂PA₂為鈍角，可得$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夾角為銳角，利用數量積大于0，結合隱含條件可得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：如圖所示，∠B₁PB₂為$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夾角．
設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，
$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$=（-c，-b），
∵∠B₂PA₂為鈍角，
∴$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夾角為銳角，
∴$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}•\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$=ac-b²＞0，
又∵b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＜0．
兩邊除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，
解得e＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍）或e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜1．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，解題時利用向量的數量積大于0建立不等式，求出正確的結論，是中檔題．