Question

20．已知函數f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）．
（1）當λ=1時，試判斷函數f（x）=3^x+λ•3^-x的奇偶性，并證明你的結論；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將λ=1代入，利用奇偶函數的定義進行判斷即可；
（2）將f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，令t=3^x，t∈[1，9]，得到關于t的不等式，變形為二次函數在區間恒成立問題解答即可．

解答 解：（1）函數f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）偶函數          …（1分）
證明：當λ=1時，函數當λ=1時的定義域為R，
當λ=1時f（x）=3^x+3^-x，f（-x）=f（x）  …（5分）
所以函數f（x）=3^x+λ•3^-x為偶函數；   …（6分）
（2）由于f（x）≤6得3^x+λ•3^-x≤6，即${3}^{x}+\frac{λ}{{3}^{x}}≤6$，
令t=3^x，t∈[1，9]，
原不等式等價于t+$\frac{λ}{t}$≤6在[1，9]上恒成立，…（8分）
亦即λ≤-t²+6t在[1.9]上恒成立      …（10分）
令g（t）=-t²+6t，t∈[1，9]
當t=9時，g（t）_min=g（9）=-27，…（12分）
所以λ≤-27．…（14分）

點評 本題考查了函數的奇偶性的判定以及不等式恒成立的轉化方法；屬于中檔題．