Question

已知函數f（x）=3^x-

a

3x

（a∈R）
（Ⅰ）若函數f（x）為增函數，直接寫出a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）為奇函數，求a的值；
（Ⅲ）若存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據指數函數的單調性及增函數的定義即可求出a的取值范圍；
（Ⅱ）根據奇函數的定義f（-x）=-f（x），即可求出a的值；
（Ⅲ）存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1，即該不等式有解，帶入f（x）可求出a≤（3^x）²-3^x，所以求（3^x）²-3^x在[0，1]上的最大值，a小于等于該最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據函數f（x）解析式及指數函數的單調性可知，a≥0；
∴a的取值范圍為[0，+∞）；
（Ⅱ）函數f（x）的定義域為R；
若f（x）為奇函數，則：
f（-x）=3-x-

a

3-x

=-a•3x+

1

3x

=-3x+

a

3x

；
∴a=1；
（Ⅲ）由f（x）≥1得，3x-

a

3x

≥1；
∴存在x∈[0，1]，使得a≤(3x)2-3x=(3x-

1

2

)2-

1

4

；
x∈[0，1]，所以3^x∈[1，3]；
∴函數（3^x）²-3^x的最大值為6；
∴a≤6；
∴a的取值范圍為（-∞，6]．

點評：考查指數函數的單調性，增函數的定義，以及奇函數的定義，配方求二次式子最大值的方法．