Question

17．已知函數f（x）=alnx-x²+1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，求實數a和b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若a＜0，且對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=alnx-x²+1求導得${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x$，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，求實數a和b的值；
（Ⅱ）求導數，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若a＜0，且對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，即f（x₁）+x₁≥f（x₂）+x₂，只要滿足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）為減函數，g（x）=alnx-x²+1+x求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=alnx-x²+1求導得${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x$
在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，f′（1）=a-2=4，得a=6，4-f（1）+b=0；b=-4．
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x=\frac{{a-2{x^2}}}{x}$
當a≤0時，f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數，
當a＞0時，${f^'}（x）=0，x=±\sqrt{\frac{a}{2}}$（舍負）${f^'}（x）＞0⇒\sqrt{\frac{a}{2}}＞x＞0$，${f^'}（x）＜0⇒x＞\sqrt{\frac{a}{2}}$f（x）在$（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$上是增函數，在$（\sqrt{\frac{a}{2}}，+∞）$上是減函數；
（Ⅲ）若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，
即f（x₁）-f（x₂）≥x₂-x₁
即f（x₁）+x₁≥f（x₂）+x₂，只要滿足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）為減函數，g（x）=alnx-x²+1+x，${g^'}（x）=\frac{a}{x}-2x+1≤0$即a≤2x²-x在（0，+∞）恒成立，a≤（2x²-x）_min，${（2{x^2}-x）_{min}}=-\frac{1}{8}$，所以$a≤-\frac{1}{8}$

點評 本小題主要考查函數的導數，單調性，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．