Question

11．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對定義域中的任意兩個不相等的x₁，x₂都成立，則a的取值范圍是$（0，\frac{1}{3}]$．

Answer 1

分析 由題意可得函數f（x）在定義域內單調遞減，故有 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$
滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對定義域中的任意兩個不相等的x₁，x₂都成立，
∴函數f（x）在定義域內單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故答案為：$（0，\frac{1}{3}]$．

點評 本題主要考查函數的單調性的應用，屬于基礎題．