Question

北京時間2011年3月11日13時46分，在日本東海岸附近海域發生里氏9級地震后引發海嘯，導致福島第一核電站受損嚴重．3月12日以來，福島第一核電站的4臺機組（編號分別為1、2、3、4）的核反應堆相繼發生爆炸，放射性物質泄漏到外部．某評估機構預估日本在十年內修復該核電站第1、2、3、4號機組的概率分別為

1

2

，

1

2

，

1

2

，

3

5

．假設這4臺機組能否被修復相互獨立．
（1）求十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復的概率；
（2）求十年內這4臺機組中至少有兩臺機組被修復的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，記十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復為事件A，則十年中第i臺機組被修復的事件為A_i，{i=1、2、3、4），由相互獨立事件概率的乘法公式計算可得只有第1臺、第2臺、第3臺、第4臺機組被修復的概率，進而由互斥事件概率的加法公式，將求得的4個事件的概率相加即可得答案；
（Ⅱ）分析可得，事件“4臺機組中至少有兩臺機組被修復”的對立事件為“4臺機組全部沒有修復或恰有1臺修復”，記十年內這4臺機組中全部沒有修復為事件B，由相互獨立事件概率的乘法公式計算可得其概率，由（Ⅰ）的結論，結合對立事件概率的性質，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復為事件A，則十年中第i臺機組被修復的事件為A_i，{i=1、2、3、4），
只有第1臺被修復的概率P₁=P（A₁•

.

A2

•

.

A3

•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第2臺被修復的概率P₂=P（

.

A1

•A₂•

.

A3

•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第3臺被修復的概率P₃=P（

.

A1

•

.

A2

•A₃•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第4臺被修復的概率P₄=P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

•A₄）=（

1

2

）³×

3

5

，
則恰有1臺機組被修復的概率P（A）=P₁+P₂+P₃+P₄=（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

3

5

=

9

40

；
（Ⅱ）事件“4臺機組中至少有兩臺機組被修復”的對立事件為“4臺機組全部沒有修復或恰有1臺修復”，
記十年內這4臺機組中全部沒有修復為事件B，
則P（B）=（1-

1

2

）×（1-

1

2

）×（1-

1

2

）×（1-

3

5

）=

2

40

，
由（Ⅰ）可得，4臺機組中恰有1臺機組被修復的概率P（A）=

9

40

，
而4臺機組中全部沒有修復的概率這4臺機組中至少有兩臺機組被修復的概率P=1-

9

40

-

2

40

=

29

40

．

點評：本題考查互斥事件的概率計算，解（Ⅱ）時，可以利用對立事件的性質，先求“4臺機組中至少有兩臺機組被修復”的對立事件的概率．