Question

北京時間2011年3月11日13時46分，在日本東海岸附近海域發生里氏9級地震后引發海嘯，導致福島第一核電站受損嚴重．3月12日以來，福島第一核電站的4臺機組（編號分別為1、2、3、4）的核反應堆相繼發生爆炸，放射性物質泄漏到外部．某評估機構預估日本在十年內修復該核電站第1、2、3、4號機組的概率分別為

1

2

，

1

2

，

1

2

，

3

5

．假設這4臺機組能否被修復相互獨立．
（1）求十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復的概率；
（2）求十年內這4臺機組中被修復的機組的總數為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復，則其余3臺沒有被修復，利用相互獨立事件的概率公式可求；
（2）確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

解答：解：（1）設十年內這4臺機組中恰有1臺機組被修復的事件為A，則
P（A）=3×(

1

2

)3×

2

5

+(

1

2

)3×

3

5

=

9

40

（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，則
P（ξ=0）=

C

0 3

×(

1

2

)3×

2

5

=

1

20

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

2

)3×

2

5

+

C

1 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

3

8

P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

2

5

+

C

2 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

11

40

P（ξ=4）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

3

40

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 20	9 40	3 8	11 40	3 40

∴Eξ=0×

1

20

+1×

9

40

+2×

3

8

+3×

11

40

+4×

3

40

=

21

10

點評：本題考查相互獨立事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．