Question

已知函數是自然對數的底數，e≈2.71）
（1）當a=-15時，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在區間上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）證明對一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，由f′（x）＞0，可得函數的單調增區間；由f′（x）＜0，可得函數的單調減區間
（2）求導函數，根據f（x）在區間上是增函數，轉化為（x-1）²≤1-a在區間上恒成立，求出x∈時，（x-1）²的最大值，即可求得實數a的取值范圍；
（3）令a=1，則，可得f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，對于任意k∈N^*，都有，故有，從而可證結論．
解答：（1）解：當a=-15時，f（x）=（x²-15）e^-x
求導函數，可得f′（x）=-（x-5）（x+3）e^-x
令f′（x）=0得x=-3或x=5
由f′（x）＞0，可得-3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜-3或x＞5
∴函數的單調增區間為（-3，5），減區間為（-∞，-3），（5，+∞）
（2）解：f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x
∵f（x）在區間上是增函數，∴f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x≥0在區間上恒成立
∴（x-1）²≤1-a在區間上恒成立
當x∈時，（x-1）²的最大值為（e-1）²，∴（e-1）²≤1-a
∴a≤2e-e²
∴實數a的取值范圍為（-∞，2e-e²]；
（3）證明：令a=1，則，
∴f′（x）=-（x-1）²e^-x≤0
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，對于任意k∈N^*，都有，故有
即
即．                          …（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明．恒成立問題通常利用分離參數法，利用函數的最值求解．