（16分）已知函數
是自然對數的底數）.
（1）若曲線
在
處的切線也是拋物線
的切線，求
的值；
（2）若對于任意
恒成立，試確定實數的取值范圍；
（3）當
時，是否存在
，使曲線
在點
處的切線斜率與
在
上的最小值相等？若存在，求符合條件的
的個數；若不存在，請說明理由.
解：（1）
，所以在
處的切線為
即：
………………………………2分
與
聯立，消去
得
，
由
知，
或
. ………………………………4分
（2）
①當
時，
在
上單調遞增，且當
時，
，
，故
不恒成立，所以不合題意 ；………………6分
②當
時，
對
恒成立，所以符合題意；
③當
時令
，得
， 當
時，
，
當
時，
，故
在
上是單調遞減，在
上是單調遞增, 所以
又，
，
綜上：
. ………………………………10分
(3)當
時，由（2）知
，
設
，則
，
假設存在實數
，使曲線
在點
處的切線斜率與在上的最小值相等，
即為方程的解，………………………………13分
令
得：
，因為
， 所以
.
令
，則
，
當
是
，當
時
，所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，
,故方程 
有唯一解為1，
所以存在符合條件的，且僅有一個
. ………………………………16分
天天向上課時同步訓練系列答案
陽光課堂同步練習系列答案科目：高中數學 來源：2010-2011年東北師大附中高二下學期期中考試文科數學 題型：解答題
（本題10分）
已知函數
(
是自然對數的底數，
).
（I）證明：對
，不等式
恒成立；
（II）數列
的前
項和為
，求證：
．
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年甘肅省天水市高三上學期第一階段性考試理科數學卷 題型：解答題
（本題滿分12分）
已知函數
(
是自然對數的底數).
（1）證明：對任意的實數
，不等式
恒成立；
（2）數列
的前
項和為
，求證：
.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年安徽省名校高三第一次聯考數學試理卷 題型：解答題
（13分）已知函數
是自然對數的底）
（1）求
的單調區間；
（2）當
時，若方程
在區間
上有兩個不同的實根，求證：
。
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科目：高中數學 來源：2010-2011年東北師大附中高二下學期期中考試文科數學 題型：解答題
（本題10分）
已知函數
(
是自然對數的底數，
).
（I）證明：對
，不等式
恒成立；
（II）數列
的前
項和為
，求證：
．
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