Question

已知a、b為正數，若對于任何大于1的正數x，恒有ax+

x

x-1

＞b成立，求證：

a

+1＞

b

．

Answer 1

分析：題目中條件恒成立，先轉化為b小于左式的最小值即可，故先求左式ax+

x

x-1

的最小值，據此即可證得．

解答：證：∵ax+

x

x-1

＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，[ax+

x

x-1

]_min＞b，
而ax+

x

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²，
當且僅當a（x-1）=

1

x-1

，即x=1+

1

a

＞1時取等號．
故[ax+

x

x-1

]_min=（

a

+1）²．
則（

a

+1）²＞b，即

a

+1＞b．

點評：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除．從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．