Question

已知a、b為正數，若對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立，求證：+1＞．

Answer 1

【答案】分析：題目中條件恒成立，先轉化為b小于左式的最小值即可，故先求左式ax+的最小值，據此即可證得．
解答：證：∵ax+＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，[ax+]_min＞b，
而ax+=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）²，
當且僅當a（x-1）=，即x=1+＞1時取等號．
故[ax+]_min=（+1）²．
則（+1）²＞b，即+1＞b．
點評：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除．從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．