Question

已知a、b為正數，求證：

（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立；

（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.

Answer 1

證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）².

∵+1＞（b＞0），

∴（+1）²＞b.從而ax+＞b

（2）∵ax+＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+］_min＞b，

而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）²，

當且僅當a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.

故［ax+］_min=（+1）².

則（+1）²＞b，即+1＞.