Question

【題目】已知函數（e為自然對數的底數），其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數的兩個極值點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出，再對分類討論即得函數的單調性；

（2）求出，，轉化成證明成立，設，，則，轉化成證明成立，設，則，構造函數，，證明，即成立，原題得證.

解：（1）的定義域，，，

方程，判別式，

當時，，恒成立，

所以恒成立，函數在和上單調遞增.

當時，，令，得，，

因為，所以.

所以當或或時，，

當時，，

所以在和和是增函數，在是減函數.

綜上所述：當時，函數在和上單調遞增；

當時，函數在和和單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）可知，當時函數存在兩個極值點，且是方程的兩根，所以，且.

，，

所以，

，

所以，

又，

所以，要證成立，

即證成立，

因為且，所以

即證成立，

設，，則，

只要證成立，

即證成立.

設，則，構造函數，

則，所以在上單調遞增，

，即成立，

從而成立.