Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程及直線在軸正半軸及軸正半軸截距相等時的直角坐標方程；

（2）若，設直線與曲線交于不同的兩點、，點，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）將曲線的極坐標方程化為，由此可得出曲線的直角坐標方程，根據題意可求得直線的斜率，進而可求得直線的直角坐標方程；

（2）將代入直線的參數方程，再將直線的參數方程與曲線的直角坐標方程聯立，設點、對應的參數分別為、，列出韋達定理，結合的幾何意義可求得的值.

（1）由得，所以，

由，，得曲線的直角坐標方程為.

當直線在軸正半軸及軸正半軸截距相等時，，

由得，所以，

即此時直線的直角坐標方程為；

（2）當時，直線的參數方程為（為參數）,

設點、對應的參數分別為、，

將直線的參數方程代入，得，整理得，

由韋達定理得，，

故.