Question

（2007•金山區一模）設a為實數，函數f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）討論a=0時與a≠0時的奇偶性，然后定義定義進行證明即可；
（2）討論a的符號，然后去掉絕對值利用分段函數表示，分別求出函數的單調遞增區間．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x|x|，所以f（x）為奇函數…（1分）
因為定義域為R關于原點對稱，且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）為奇函數．…（3分）
當a≠0時，f（x）=x|x-a|為非奇非偶函數，…（4分）
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函數．…（6分）
（2）當a=0時，f(x)=

x2 x≥0 -x2 x＜0

，f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）；…（8分）
當a＞0時，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的單調遞增區間為(-∞，

a

2

)和（a，+∞）；…（10分）
f（x）的單調遞減區間為(

a

2

，a)；…（12分）
當a＜0時，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的單調遞增區間為（-∞，a）和(

a

2

，+∞)；…（14分）
f（x）的單調遞減區間為(a，

a

2

)…（16分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判定，以及函數的單調性的判定，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．