【題目】如圖，已知四棱錐
的底面為菱形， 
， 
， 
.
（Ⅰ）求證： 
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（I）詳見解析；（II）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線平行，可先轉化為證明線面平行，取
的中點
,連結
，根據條件證明
平面
；（Ⅱ）根據垂直關系可證明
平面
，所以可以以點
為原點， 
為
軸建立空間直角坐標系，分別求平面
的法向量，根據
求解.
試題解析：（Ⅰ）證明：取
中點
，連結
，
∵△
為等腰三角形，∴
，
又∵四邊形
是棱形，∠
，
∴
是等邊三角形，∴
，
又
，∴
平面
，又
平面
，∴
；
（Ⅱ）解：可求得： 
， 
，
∴
，∴
，
以
為坐標原點，分別以
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，
則
， 
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
設平面
的法向量為
，則
，即
，
令
，得
，
設平面
的法向量為
，則
，即
，
令
，得
，
∴
，
經觀察二面角
的大小為鈍角，設為
，∴
．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設橢圓
： 
，長軸的右端點與拋物線
： 
的焦點
重合，且橢圓
的離心率是
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過
作直線
交拋物線
于
， 
兩點，過
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點
，求
面積的最小值，以及取到最小值時直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4,5)關于直線l的對稱點坐標；
(2)直線l1：y＝x－2關于直線l的對稱直線的方程；
(3)直線l關于點A(3,2)的對稱直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
， 
分別是其左、右焦點，以線段
為直徑的圓與橢圓
有且僅有兩個交點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過點
且不與坐標軸垂直的直線
交橢圓于
兩點，線段
的垂直平分線與
軸交于點
，點
橫坐標的取值范圍是
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩廠產品的質量，從兩廠生產的產品中分別隨機抽取各10件樣品，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖是測量數據的莖葉圖：
規定：當產品中的此種元素含量不小于16毫克時，該產品為優等品．
（1）從乙廠抽出的上述10件樣品中，隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優等品數
的分布列及其數學期望
；
（2）從甲廠的10件樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，求抽到的優等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“累積凈化量
”是空氣凈化器質量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量，以克表示，根據
《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累計凈化量有如下等級劃分：
累積凈化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等級 |
|
|
|
|
為了了解一批空氣凈化器（共5000臺）的質量，隨機抽取
臺機器作為樣本進行估計，已知這臺機器的累積凈化量都分布在區間
中，按照
、
、
、
、
均勻分組，其中累積凈化量在的所有數據有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并繪制了頻率分布直方圖，如圖所示：
（1）求的值及頻率分布直方圖中
的值；
（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共5000臺）中等級為
的空氣凈化器有多少臺？
（3）從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為的概率.
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