Question

【題目】已知直線l：y＝3x＋3，求：

(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l的對(duì)稱直線的方程；

(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) P′(－2,7);(2) 7x＋y＋22＝0;(3) 3x－y－17＝0.

【解析】試題分析:(1) 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)M在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，列出方程組求出坐標(biāo)即可;(2)法一:聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo); 在直線l1：x－y－2＝0上任取一點(diǎn)(2,0)，過點(diǎn)(2,0)與直線l：3x－y＋3＝0垂直的直線方程為x＋3y＝2,聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo);根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)式方程寫出直線;法二: 在直線l1上任取一點(diǎn)P(x1，y1),根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x′，y′), 列出方程組把P點(diǎn)坐標(biāo)用x′，y′表示,又點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動(dòng)，代入整理即可;(3) 設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線為l′，根據(jù)直線平行設(shè)出方程, 任取y＝3x＋3上的一點(diǎn)(0,3)，則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線l′上，將解出的對(duì)稱點(diǎn)代入直線方程,求出縱截距,可得直線方程.

試題解析:

(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)M在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，

即解得.

所以P′(－2,7)．

(2)法一：聯(lián)立方程組解得

所以直線l1與l的交點(diǎn)為.

在直線l1：x－y－2＝0上任取一點(diǎn)(2,0)，過點(diǎn)(2,0)與直線l：3x－y＋3＝0垂直的直線方程為x＋3y＝2.

設(shè)直線x＋3y＝2與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，

則解得

即交點(diǎn)坐標(biāo)為.

又點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以過兩點(diǎn)，的直線方程為＝，整理，得7x＋y＋22＝0.

則所求直線方程為7x＋y＋22＝0.

法二：在直線l1上任取一點(diǎn)P(x1，y1)(P∈l1)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x′，y′)，則

解得

又點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動(dòng)，所以x1－y1－2＝0.

所以－－2＝0，

即 7x′＋y′＋22＝0.

所以所求直線方程為7x＋y＋22＝0.

(3)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線為l′，

由l∥l′，設(shè)l′：y′＝3x′＋b.

任取y＝3x＋3上的一點(diǎn)(0,3)，則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線l′上，設(shè)其對(duì)稱點(diǎn)為(x′，y′)．

則解得

代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.

故直線l′的方程為y′＝3x′－17，

即所求直線的方程為3x－y－17＝0.

點(diǎn)睛: 三種對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)．(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)，

則有兩直線斜率乘積為-1,且兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上,可求出x′，y′.(3)直線關(guān)于直線的對(duì)稱：①若直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，然后再求出l1上任一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；②若直線l1與對(duì)稱軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對(duì)稱直線．