Question

【題目】已知函數.

（1）若在定義域上為單調遞減函數，求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得恒成立且有唯一零點，若存在，求出滿足， 的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】試題分析：（1）由在定義域上單調遞減，則恒成立，求的最大值小于等于0即可.

(2) 當時， ，∴恒成立，當時，由（1）知， 在內單調遞減，分， 兩種情況討論函數的單調性和零點.

試題解析：（1）由已知，函數的定義域為，

由在定義域上單調遞減，則恒成立，

，所以，

當時， ， 單調遞增，當時， ， 單調遞減．即在內單調遞增， 內單調遞減，

所以．

（2）當時， ，∴恒成立，

當時，由（1）知， 在內單調遞減，

（i）若，

由（1）知， 在內單調遞減，

則， 無零點，不符合題意;

（ii）若，

設， ，

所以，又，

所以存在，使得，即，①

且當故當時，有，當時，有，

則在內單調遞增， 內單調遞減，

由于恒成立，且有唯一零點，∴．②

結合①，②知，③

聯立得

設，則， ，

且當時， ，所以在上有唯一零點．

即滿足方程組③的唯一，且．

設， ，所以在上單調遞增，

，

即滿足方程組③的，所以.

綜上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零點．