Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）若對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[﹣1，1]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，即a=1
（2）解：函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．

y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得，a≤1

（3）解：函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，

當a＜0時，x=1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）max=1﹣a．

當a＞0時，x=﹣1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）max=1+3a．

當a=0時，x=±1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）max=1

【解析】（1）由對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，即可得出a．（2）函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．根據(jù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得a≤1．（3）函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，對a分類討論即可得出．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．