Question

11．如圖在三棱錐S-ABC中，CA=CB=3，∠ACB=30°，高SO=8，動點M、N分別在線段BC上SO上，且SN=2CM=2x，則下列四個圖象中大致描繪了四面體AMCN的體積V與x變化關系（其中x∈（0，3]）的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由題意直接求出三棱錐N-AMC的體積V與x變化關系，通過函數表達式，確定函數的圖象即可．

解答 解：底面三角形ABC的邊AC=3，CM=x，∠ACB=30°，
∴△ACM的面積為：$\frac{1}{2}$x•3•sin30°=$\frac{3}{4}$x，
又∵三棱錐N-AMC的高NO=PO-PN=8-2x
所以三棱錐N-AMC的體積V=$\frac{1}{3}$（8-2x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{1}{2}$x²+2x
當x=2時取得最大值，開口向下的二次函數，
故選：B．

點評 本題考查幾何體的體積與函數之間的關系，求出底面三角形的面積，是本題的一個關鍵步驟，通過二次函數研究幾何體的體積的變化趨勢是本題的特點，是好題，新穎題目，屬于中檔題．