Question

【題目】已知等差數列滿足，前8項和．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足．

① 證明：為等比數列；

② 求集合．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析，②

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d．根據a4＝4，前8項和S8＝36．可得數列{an}的通項公式；

（2）①設數列{bn}前n項的和為Bn．根據bn＝Bn﹣Bn﹣1，數列{bn}滿足．建立關系即可求解；

②由，得，即．記，由①得，，

由，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；設t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．討論整數成立情況即可；

（1）設等差數列的公差為d．

因為等差數列滿足，前8項和，

所以，解得

所以數列的通項公式為．

（2）①設數列前項的和為．

由（1）及

得

由③-④得

3

-

=

-

．

所以 ，

又，所以，滿足上式．

所以

當時，

由⑤-⑥得，．

，

所以，，

所以數列是首項為1，公比為2的等比數列．

②由，得，即．

記，由①得，，

所以，所以（當且僅當時等號成立）．

由，得，

所以．

設 ，由，得．

當時，，不合題意；

當時，，此時符合題意；

當時，，不合題意；

當時，，不合題意．

下面證明當時，．

不妨設 ，

，

所以在上單調增函數，

所以，

所以當時，，不合題意．

綜上，所求集合 ．