Question

如圖所示，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0），定點A（-4，0），當λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）當M、N兩點在橢圓C上運動時，試判斷

AM

•

AN

•tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時M、N兩點所在直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出M，N的坐標，由向量的數量積的坐標公式，得到c的方程，解出即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）運用向量的數量積的定義，設直線MN的方程為y=k（x-2），k≠0，聯立直線方程和橢圓方程，消去y，運用韋達定理，配方得到，結合二次函數的最值，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）當λ=1時，不妨設M(c，

b2

a

)，N(c，-

b2

a

)，
∴

AM

•

AN

=(c+4)2-

b4

a2

，
又a2=

3

2

c2，b2=

c2

2

，
∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

．
∵c＞0，∴c=2，橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S_△AMN=|AF||y_M-y_N|，
設直線MN的方程為y=k（x-2），k≠0，
聯立

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

，
得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
y_M+y_N=-

4k

1+3k2

，y_My_N=

-2k2

1+3k2

，
∴|yM-yN|=

24k4+24k2

1+3k2

．
記t=

24k4+24k2

1+3k2

，S=1+3k²，
則t=

24 • ( S-1 3 )2+( S-1 3 )

S

=

2 6

3

•

1+ 1 S - 2 S2

，
∴當t≤

3

，當S=4，即k=±1時取等號．
并且當k=0時，

AM

•

AN

×tan∠MAN=0，
當k不存在時|yM-yN|=

2 6

3

＜

3

．
綜上

AM

•

AN

×tan∠MAN有最大值，最大值為6

3

．
此時，直線MN的方程為x-y-2=0或x+y-2=0．

點評：本題考查橢圓方程和性質，考查平面向量的數量積的定義和性質，以及聯立直線方程和橢圓方程，消去未知數，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．