Question

【題目】已知函數

（1）若函數在區間上單調遞減，求實數a的取值范圍；

（2）當，（）時，求證：；

（3）若函數有兩個極值點，，求證：（e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(1)由題意可知在上恒成立，通過參變分離可知恒成立，結合導數可求出的最大值，從而可求出實數a的取值范圍.

(2)由(1)可知，從而可知，結合累加法可知，進而可證出.

(3)由題意可知有兩個相異實根，，進而可知，結合導數證明在成立，從而可知，進而可知.

解：(1)，若函數在區間上單調遞減，

則在上恒成立，即在上恒成立，

即區間上恒成立，所以.

令，則，

因為，所以，所以，在上單調遞減，

所以，故，所以實數a的取值范圍a.

(2)由(1)可知，當時，函數在區間上單調遞減，

所以，當時，，則當時有，

即.因為當時，所以時，

，，

，……，，

所以

，

即，所以.

(3)若函數有兩個極值點，，不妨設，

即有兩個相異實根，，且.

從而有，將上兩式相加得：.

將上兩式相減得：，從而，

即，即得，

要證明，也就是證明，即，

也就是證明，令，只需證明，

由，知，因此只需證明

令，則，

所以在區間上單調遞增，又因為，

因此在區間上恒成立.

所以，當時，成立，所以有成立，從而.