Question

已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|
（1）若關于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值；
（2）求不等式：f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據絕對值的意義求得-3≤f（x）≤3，可得f（x）≥k有解時，k的最大值．
（2）分類討論，去掉絕對值，求得f（x）≥x²-8x+15的解集．

解答： 解：（1）函數f（x）=|x-2|-|x-5|表述數軸上的x對應點到2對應點的距離減去它到5對應點的距離，
故-3≤f（x）≤3．
再根據不等式f（x）≥k有解，∴k≤3，即k的最大值為3．
（2）由（1）可知，當x≤2時，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-8x+18＜0，它的解集為空集；
當2＜x＜5時，時，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-10x+22≤0，它的解集為{x|5-

3

＜x＜5}；
當x≥5時，f（x）≥x²-8x+15，即 x²-8x+12≤0，它的解集為{x|2≤x≤6}．
綜上，不等式的解集為：{x|5-

3

＜x≤6}．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．