Question

【題目】已知函數，．

若是函數的極值點，求曲線在點處的切線方程；

若函數在區間上為單調遞減函數，求實數a的取值范圍；

設m，n為正實數，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

求出導函數，得到函數的極值點，解得，求出切線的斜率為，切點為，然后利用點斜式求解切線方程；由知，利用函數在區間上為單調遞減函數，得到在區間上恒成立，推出，設，，，利用基本不等式，再求出函數的最大值，可得實數的取值范圍；利用分析法證明，要證，只需證，設，，利用導數研究函數的單調性，可得,從而可得結論．

，．

是函數的極值點，，解得，

經檢驗，當時，是函數的極小值點，符合題意

此時切線的斜率為，切點為，

則所求切線的方程為

由知

因為函數在區間上為單調遞減函數，

所以不等式在區間上恒成立

即在區間上恒成立，

當時，由可得，

設，，，

當且僅當時，即時，，

又因為函數在區間上為單調遞減，在區間上為單調遞增，

且，，

所以當時，恒成立，

即，也即

則所求實數a的取值范圍是

，n為正實數，且，要證，只需證

即證只需證

設，，

則在上恒成立，

即函數在上是單調遞增，

又，，即成立，

也即成立.