Question

5．若正實數a，b滿足$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+2}$=$\frac{1}{3}$，則ab+a+b的最小值為6$\sqrt{6}$+14．

Answer 1

分析 用a表示出b，利用基本不等式得出最值．

解答 解：∵$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+2}$=$\frac{1}{3}$，∴3（a+1）+3（b+2）=（a+1）（b+2），
∴ab=a+2b+7，
a=$\frac{2b+7}{b-1}$，∵a，b都是正數，∴b＞1．
∴ab+a+b=a+2b+7+a+b=2a+3b+7=$\frac{4b+14}{b-1}$+3b+7
=$\frac{3{b}^{2}+8b+7}{b-1}$=3（b-1）+$\frac{18}{b-1}$+14≥2$\sqrt{54}$+14=6$\sqrt{6}$+14．
當且僅當3（b-1）=$\frac{18}{b-1}$即b=$\sqrt{6}$+1時取等號，此時a=2+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：6$\sqrt{6}$+14．

點評 本題考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．