Question

20．（本小題滿分14分）

已知圓和橢圓的一個公共點為．為橢圓的右焦點，直線與圓相切于點．
（Ⅰ）求值和橢圓的方程；
（Ⅱ）圓上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出點的坐標．

Answer 1

，圓上存在點或或，使
為等腰三角形．         

20．解：（Ⅰ）由題可知，                …………………………1分
，，
，又，                ……………………………3分
法一：為圓的切線，，，
設，則有，
，              …………………5分
又，，，
所以橢圓的方程為  …………6分
法二：為圓的切線，，，
設，則有，，             …………………5分
又，，，         …………6分
法三：為圓的切線，則圓心到直線的距離等于，
又，，
，              ……………………………5分
又，，，       ……………6分
（Ⅱ）法一：假設存在點，使為等腰三角形，
則點滿足…………①，           ………………7分
下面分三種情況討論：
（1）當時，
有，即…………②
由①②聯立得：，                  ……………………………9分
（2）當時，
有，即…………③
由①③聯立得：，            …………………………11分
（3）當時，
有，即…………④
由①④聯立得：，又，       …………………13分
綜上，圓上存在點或或，使
為等腰三角形．                         …………………14分
法二：假設存在點，使為等腰三角形，下面分三種情況討論：
（1）當時，
關于軸對稱點也在圓上，
                ………………8分
（2）當時，，
又圓的直徑為，為圓的直徑，
此時由、及中點公式得；  …………………11分
（3）當時，設，則有

，              ………………………13分
綜上，圓上存在點或或，使
為等腰三角形．                      …………………………14分